Modelo Estocástico con Retraso para la Dinámica Fenológica de Vegetación
Modelización Matemática de la Dinámica Fenológica de Vegetación mediante Ecuaciones Diferenciales Estocásticas con Retraso: Aplicación al Índice de Verdor GCC en Röbäcksdalen en Umeå, Suecia
1 Fundamentos Matemáticos
1.0.0.1 Existencia y unicidad de soluciones
Para garantizar la existencia y unicidad de soluciones a la SDDE (3.1), imponemos las siguientes condiciones estándar sobre los coeficientes (Mao, 2007):
Condición de Lipschitz global: Existe una constante \(K > 0\) tal que para todo \(x_1, x_2, y_1, y_2 \in \mathbb{R}\) y \(t \geq 0\):
\[ |\mu(t, x_1, y_1) - \mu(t, x_2, y_2)| + |\sigma(t, x_1) - \sigma(t, x_2)| \leq K(|x_1 - x_2| + |y_1 - y_2|) \tag{3.4} \]
donde \(\mu(t, x, y) = \alpha + \beta x + \gamma y + \boldsymbol{\delta}^T \mathbf{C}(t)\) es la función de deriva y \(\sigma(t, x) = \sigma x\) es la función de difusión.
Condición de crecimiento lineal: Existe una constante \(C > 0\) tal que para todo \(x, y \in \mathbb{R}\) y \(t \geq 0\):
\[ |\mu(t, x, y)|^2 + |\sigma(t, x)|^2 \leq C(1 + |x|^2 + |y|^2) \tag{3.5} \]
Teorema 3.1 (Existencia y unicidad). Bajo las condiciones (3.4) y (3.5), y dado un historial inicial \(\phi \in C([-\tau, 0], \mathbb{R}^+)\), existe una única solución global \(X(t)\) para todo \(t \geq 0\) que satisface la SDDE (3.1) y la condición inicial (3.2).
Demostración: Ver (Mao, 2007), Teorema 6.2, o Anexo D para una demostración detallada adaptada a nuestro modelo específico.
1.0.1 Momentos y propiedades estadísticas
Aunque la solución exacta de la SDDE (3.1) no puede expresarse en forma cerrada debido al término de retraso, podemos derivar ecuaciones para sus momentos estadísticos. Tomando esperanza en ambos lados de \(\ref{eq-integral_solution}\) y utilizando que la esperanza de la integral de Itô es cero:
\[ \mathbb{E}[X(t)] = X(0) + \int_0^t \left[ \alpha + \beta \mathbb{E}[X(s)] + \gamma \mathbb{E}[X(s-\tau)] + \boldsymbol{\delta}^T \mathbb{E}[\mathbf{C}(s)] \right] ds \tag{3.8} \]
Diferenciando respecto a \(t\) obtenemos una ecuación diferencial funcional determinista para la media:
\[ \frac{d}{dt} \mathbb{E}[X(t)] = \alpha + \beta \mathbb{E}[X(t)] + \gamma \mathbb{E}[X(t-\tau)] + \boldsymbol{\delta}^T \mathbb{E}[\mathbf{C}(t)] \tag{3.9} \]
Esta ecuación revela que la dinámica de la media del proceso estocástico sigue una DDE determinista con la misma estructura de retraso que el modelo original (Mohammed, 1984).
1.0.2 Esquema de Euler-Maruyama para SDDE
Consideremos la SDDE definida en la sección 3.1:
\[ dX(t) = \mu(t, X(t), X(t-\tau)) \, dt + \sigma(t, X(t)) \, dW(t), \quad t \geq 0 \tag{3.1} \]
donde \(\mu(t, x, y) = \alpha + \beta x + \gamma y + \boldsymbol{\delta}^T \mathbf{C}(t)\) y \(\sigma(t, x) = \sigma x\).
Para discretizar esta ecuación, particionamos el intervalo temporal \([0, T]\) en \(N\) subintervalos de igual longitud \(\Delta t = T/N\), definiendo los puntos de malla \(t_n = n \Delta t\) para \(n = 0, 1, \dots, N\). Denotamos \(X_n \approx X(t_n)\) como la aproximación numérica del proceso en el tiempo \(t_n\).
El esquema de Euler-Maruyama para la SDDE (3.1) se define recursivamente como:
\[ X_{n+1} = X_n + \mu(t_n, X_n, X_{n-k}) \Delta t + \sigma(t_n, X_n) \Delta W_n \]
donde: - \(k = \tau / \Delta t\) es el número de pasos de retraso (asumiendo que \(\tau\) es múltiplo entero de \(\Delta t\)), - \(\Delta W_n = W(t_{n+1}) - W(t_n) \sim \mathcal{N}(0, \Delta t)\) es el incremento del proceso de Wiener, - \(X_{n-k} \approx X(t_n - \tau)\) es la aproximación del estado retardado.
Para nuestro modelo específico con \(\mu(t, x, y) = \alpha + \beta x + \gamma y + \boldsymbol{\delta}^T \mathbf{C}(t)\) y \(\sigma(t, x) = \sigma x\), el esquema se particulariza como:
\[ X_{n+1} = X_n + \left[ \alpha + \beta X_n + \gamma X_{n-k} + \boldsymbol{\delta}^T \mathbf{C}_n \right] \Delta t + \sigma X_n \Delta W_n \tag{3.10} \]
donde \(\mathbf{C}_n = \mathbf{C}(t_n)\) representa el vector de forzantes climáticas en el tiempo discreto \(t_n\).
1.0.3 Representación alternativa en diferencias
En aplicaciones prácticas con datos observados, es conveniente reorganizar la ecuación (3.10) en términos del diferencial discreto \(\Delta X_n = X_{n+1} - X_n\):
\[ \Delta X_n = \alpha \Delta t + \beta X_n \Delta t + \gamma X_{n-k} \Delta t + \boldsymbol{\delta}^T \mathbf{C}_n \Delta t + \sigma X_n \Delta W_n \tag{3.11} \]
Esta formulación es particularmente útil para la estimación de parámetros mediante métodos de regresión, ya que permite expresar el cambio en el estado como una función lineal de las variables explicativas (Shoji & Ozaki, 1998).